TEORÍA DE COLAS

La distribución de Poisson describe las llegadas por unidad de tiempo y la distribución exponencial estudia el tiempo entre cada una de estas llegadas. Si las llegadas son de Poisson, el tiempo entre ellas es exponencial. La distribución de Poisson es discreta, mientras que la distribución exponencial es continua, porque el tiempo entre llegadas no tiene por qué ser un número entero. Esta distribución se usa mucho para describir el tiempo entre eventos, específicamente, la variable aleatoria que representa el tiempo necesario para servir a la llegada. Un ejemplo típico puede ser el tiempo que un médico dedica a un paciente. 

 1. MODELO M/M/1 Modelo para una Unidad de Servicio:

Para este modelo se considera lo siguiente: 1.- Las llegadas son aleatorias y provienen de una distribución de probabilidad de Poisson o de Markov. 2.- Se supone que el tiempo de servicio es también una variable aleatoria que sigue una distribución exponencial. Se supone además que los tiempos de servicios son independientes entre sí e independientes del proceso de llegada. 3.- Sólo hay una unidad de servicio. 4.- La disciplina de cola se basa en el principio FIFO (primero en llegar primero en salir) y no hay un límite para el tamaño de la cola. 5.- Las tasas de llegadas y de servicio no cambian con el tiempo. El proceso ha estado en operación el tiempo suficiente para eliminar los efectos de las condiciones iniciales. para n = 0,1,2,3,--. para n = 1,2,3, --.. 

- Probabilidad de encontrar exactamente n clientes en el sistema:

 - Probabilidad de encontrar el sistema vacío:

 - Factor de utilización: 

 - Número estimado de clientes que esperan en cola a ser atendidos: 

 - Número promedio  de clientes en el sistema: 

 - Tiempo estimado que emplea un cliente esperando en la cola: 

 - Tiempo estimado que emplea un cliente en el sistema:

UNIDAD II - TEORÍA DE INVENTARIO

El costo de mantener un cierto número de unidades en inventario puede ser importante para una empresa. El objetivo de la Teoría de Inventarios es establecer técnicas para minimizar los costos asociados a un esquema de inventario para satisfacer una demanda.

Costos involucrados en un modelo de inventario

• Costo de ordenar o de producción: Muchos gastos asociados a efectuar una orden por cierto producto, o bien a producirlo internamente no necesariamente dependen del tamaño de la orden o del tamaño de la partida producida. Por ejemplo, los costos involucrados en el envío de un fax en el caso de órdenes , o bien el costo de encendido de maquinaria en el caso de producción propia.
• Costo Unitario de compra : Corresponde al costo variable unitario involucrado en la compra de artículos a algún proveedor. Normalmente el costo de compra incluye los costos de materiales, mano de obra, maquinaria y utilidades del proveedor. Eventualmente, puede incluir también los costos de envío.
• Costo de mantener Unidades en inventario: Involucra los gastos en los que se incurre al mantener una unidad en inventario un determinado período de tiempo. Luego, este tipo de costo debe ir necesariamente ligado a un intervalo de tiempo, por ejemplo costo anual, semestral o diario de mantener una unidad en inventario.El valor del costo de mantener unidades en inventario depende en general de los costos de almacenamiento, impuestos, seguridad, financieros, asociados a la devaluación de los artículos almacenados o bien su obsolescencia. Sin embargo, la mayor componente del costo de mantener unidades en inventario está ligada al costo de oportunidad asociado a mantener un capital detenido por concepto de inventario.


• Costos por escasez o mantención de órdenes pendientes: Cuando la demanda de un comprador no puede ser satisfecha se habla de un stockout. En el caso que el comprador acepte recibir sus artículos fuera de plazo se habla de órdenes pendientes. Si se acepta el hecho de mantener órdenes pendientes, se habla de escasez planificada. Si el comprador no acepta los productos fuera de plazo, se habla pérdidas de ventas. 

1. CANTIDAD DE LOTE ECONÓMICO "EOQ"

2. MODELO EOQ CON FALTANTE
 




3. MODELO EOQ CON DESCUENTO

PERT - CPM

PERT: Program Evaluations and Review Technique. (Técnica de revisión y evaluación de programas)

CPM: Critical Path Method (Metodode la ruta critica).

Ruta crítica :

-La Ruta Crítica es la ruta más larga a través de la red .

-Determina la longitud del proyecto .

-Toda red tiene al menos una ruta crítica .

-Es posible que haya proyectos con más de una ruta crítica.

INCERTIDUMBRE EN UNA RED PERT/CPM

Estimación de los tiempos de las actividades

Con el fin de tener en cuenta la incertidumbre, las personas que desarrollaron PERT permitieron a los usuarios utilizar tres estimadores para los tiempos de cada una de las actividades:

1.-  El tiempo más probable (tm): El tiempo que se requiere para terminar la actividad bajo condiciones normales.

2.-       El tiempo pesimista (tp): El tiempo máximo que se necesitaría para terminar la actividad si se encontraran demoras considerables en el proyecto.

3.- El tiempo optimista (to):  El tiempo mínimo que se requiere para terminar la actividad si todo ocurre en forma ideal.

- Utilizando estas tres estimaciones, puede calcularse un tiempo esperado para la duración de una actividad de acuerdo con la siguiente formula:

                           te = ( to + 4tm + tp) / 6

Veamos que ocurre con el tiempo con el caso Sharp en el cual se proporcionan tres estimaciones de los tiempos que se requieren para terminar cada una de las actividades del proyecto.

TABLA

Código de la actividad	Tiempo optimista(to)	Tiempo mas probable(tm)	Tiempo pesimista(tp)
A	3.0	5.5	11.0
B	1.0	1.5	5.0
C	1.5	3.0	4.5
D	1.2	3.2	4.0
E	2.0	3.5	8.0
F	1.8	2.8	5.0
G	3.0	6.5	7.0
H	2.0	4.2	5.2
I	0.5	0.8	2.3
J	0.8	2.1	2.8

 -  Si utilizamos la actividad F como ejemplo, estos datos indican que se estima que la actividad “fabricar envases” requerirá entre 1.8 semanas (estimación optimista) y 5.0 semanas (estimación pesimista), siendo su estimación mas probable 2.8 semanas. El valor que sería probable que ocurriera si la actividad se repitiera varias veces en el tiempo esperado.

                            te = [1.8 + 4(2.8) ] 6 

                                   te =  3.0

La ventaja de tener tres estimaciones de tiempos es que puede calcularse la dispersión de los tiempos de las actividades y puede utilizarse esta información para evaluar la incertidumbre de que el proyecto se termine de acuerdo con el programa.

Se utiliza la varianza como medida para describir la dispersión o variación de las estimaciones de los tiempos de las actividades.

Varianza de los tiempos de actividad =  s_t² = (tp – to) ² /  36

EJEMPLO:

ÁRBOL DE EXPANSIÓN MÍNIMA

REDES ( ARBOL DE EXPANSION MINIMA) 

Modelo de minimización de redes

El modelo de minimización de redes o problema del árbol de mínima expansión tiene que ver con la determinación de los ramales que pueden unir todos los nodos de una red, tal que minimice la suma de las longitudes de los ramales escogidos. No se deben incluir ciclos en al solución del problema.

Para crear el árbol de expansión mínima tiene las siguientes características:

1. Se tienen los nodos de una red pero no las ligaduras. En su lugar se proporcionan las ligaduras potenciales y la longitud positiva para cada una si se inserta en la red. (Las medidas alternativas para la longitud de una ligadura incluyen distancia, costo y tiempo.) 

2. Se desea diseñar la red con suficientes ligaduras para satisfacer el requisito de que haya un camino entre cada par de nodos. 

3. El objetivo es satisfacer este requisito de manera que se minimice la longitud total de las ligaduras insertadas en la red. 

4. Un árbol de expansión es un árbol que enlaza todos los nodos de la red, también sin permitir ciclos.

Una red con n nodos requiere sólo (n-1) ligaduras para proporcionar una trayectoria entre cada par de nodos. Las (n-1) ligaduras deben elegirse de tal manera que la red resultante formen un árbol de expansión. Por tanto el problema es hallar el árbol de expansión con la longitud total mínima de sus ligaduras.

Algoritmo para construir el árbol de expansión mínima:

1. Se selecciona, de manera arbitraria, cualquier nodo y se conecta (es decir, se agrega una ligadura) al nodo distinto más cercano. 

2. Se identifica el nodo no conectado más cercano a un nodo conectado y se conectan estos dos nodos (es decir, se agrega una ligadura entre ellos). Este paso se repite hasta que todos los nodos están conectados. 

3. Empates: los empates para el nodo más cercano distinto (paso 1) o para el nodo no conectado más cercano (paso 2), se pueden romper en forma arbitraria y el algoritmo debe llegar a una solución optima. No obstante, estos empates son señal de que pueden existir (pero no necesariamente) soluciones optimas múltiples. Todas esas soluciones se pueden identificar si se trabaja con las demás formas de romper los empates hasta el final.

EJEMPLO:

EJEMPLO EN EL PROGRAMA WINQSB

FLUJO MÁXIMO

MÉTODO DE FORD FULKERSON

El algoritmo de Ford-Fulkerson propone buscar caminos en los que se pueda aumentar el flujo, hasta que se alcance el flujo máximo.

El algoritmo de Ford-Fulkerson tiene como idea buscar rutas en los que se pueda aumentar el flujo, hasta que por fin se alcance el flujo máximo.

Existe un flujo que viaja desde un único lugar de origen hacia un único lugar de destino através de arcos que conectan nodos intermediarios. Los arcos tienen una capacidad máxima de flujo y se trata de enviar desde la fuente al destino la mayor cantidad de flujo posible.

Características:

- El flujo siempre será positivo y siempre tendrá unidades enteras. 

- El flujo a través de un arco es menor o igual que la capacidad. 

- El flujo que entra en un nodo es igual al que sale de él.

PROBLEMA DEL CAMINO MÁS CORTO

El objetivo del problema de la ruta más corta es precisamente encontrar el camino más corto, de menor costo o más rápido, desde un nodo específico hasta cada uno de los demás nodos de la red.

SOLUCIÓN CON EL PROGRAMA WINQSB:

EJM: Usted debe hacer un viaje en auto a ciudades que nunca ha visitado. Estudia un plano para determinar la ruta más corta a su destino, según la ruta que elija, hay otras 5 ciudades: A,B,C,D Y E por las que puede pasar. El plano muestra las Km de cada camino que es una conexión directa entre dos ciudades sin que intervenga. Estas cifras se muestran en las sgte. tabla:

CIUDAD	CIUDAD					DESTINO
	A	B	C	D	E
A		10		70
B			20	55	40
C					50
D					10	60
E						80